Skifteplanen i semifinalerne, Danish Bridge Festival 2005

En redegørelse for valget af samt egenskaber ved den skifteplan der bruges i semifinalerne i DM åben par og DM mixed par ved Danish Bridge Festival i Vingsted 2005.

Version 2005-06-02. Udgivet af Danmarks Bridgeforbunds turneringskomite.

Indhold

Indledning

Dette skrift henvender sig til folk med interesse for detaljerne i valg af skifteplan til bridgeturneringer.

Semifinalerne i DM åben par og DM mixed par er turneringer for 120 par. I hver semifinale skal der vælges 40 par til A-finalen, som afgør danmarksmesterskabet. De resterende 80 par fordeles på to ligeværdige B-finaler.

Tidsplanen tillader ikke at der spilles mere end (ca.) 23 runder i en semifinale; hvert enkelt par kan således kun møde omkring en femtedel af de andre 119 par.

Der har været kritik af den type skifteplan der er valgt til semifinalerne. DBF's turneringskomite (TUK) har bl.a. derfor valgt at offentliggøre denne redegørelse for den valgte skifteplan samt for dens fordele og ulemper i forhold til et alternativ.

Bemærk at dette skrift ikke er et regelsæt som absolut skal følges: det er information om hvordan vi gør, og detaljer kan evt. blive ændret uden varsel.

Retfærdige turneringer; balancebegrebet

Hvis en parturnering med ét vinderpar skal være så retfærdig som en parturnering kan være, skal den have følgende egenskaber: Den sidstnævne egenskab sikrer perfekt balance. Balancen er relevant fordi ens score i en runde i en parturnering jo ikke kun afhænger af hvordan man selv og ens direkte modstander spiller: den afhænger også af hvad der sker ved de andre borde.

I en given runde spiller man således ikke kun imod parret ved ens eget bord, men også imod alle andre par der sidder på samme led som en selv ved andre borde: jo bedre de klarer sig, jo dårligere score får man selv. Tilsvarende er man allieret med alle par der sidder på modsat led af en selv ved andre borde: jo bedre de klarer sig, jo bedre score får man selv. Det er derfor en god egenskab ved en skifteplan hvis man sidder på samme hhv. modsat led af et givet andet par lige mange, eller nogenlunde lige mange, gange.

Da der ikke er tid til at spille 119 runder, kan semifinalerne ikke spilles som alle-mod-alle-turneringer, og de vil derfor uundgåeligt være langtfra så retfærdige som 119-runders alle-mod-alle-turneringer kunne være.

Men en semifinales opgave er jo netop ikke at kåre danmarksmestrene, men kun at finde et felt af en håndtérbar størrelse til A-finalen. Derfor er det ikke en katastrofe at den har en begrænset retfærdighed.

A-finalen spilles netop efter en skifteplan der opfylder begge ovenstående krav, og den er derfor så retfærdig som en parturnering kan blive. Det samme gælder hver af de to B-finaler.

Mulighederne i semifinalerne

Når man ikke kan spille alle mod alle, er der stort set to muligheder:
  1. Puljer med uafhængig beregning: man kan dele feltet i 5 (så vidt muligt lige stærke) puljer à 24 par og spille 5 uafhængige, hver for sig retfærdige, alle-mod-alle-turneringer, og lade 8 par fra hver pulje gå til A-finalen.
  2. Fælles top: man kan spille en turnering hvor der foretages en fælles beregning for alle 60 borde, men hvor hvert par kun møder 23 af de 119 andre par. De 40 par med højest score går videre til A-finalen. Til en sådan turnering kan man vælge mellem forskellige typer skifteplaner:
    1. man kan spille i puljer (som i 1 ovenfor, men altså med fælles top) hvor alle i en pulje mødes, eller
    2. man kan spille (fx) uendelig Howell, hvor turneringen ikke består af alle-mod-alle-puljer.
Der har været nogen debat om især valget af 1 eller 2. Fordele og ulemper ved puljeberegning hhv. fælles top er:
  1. Ved beregning i puljer kan man opnå at der er perfekt balance inden for hver enkelt pulje. Adskilte puljer sikrer også at balancen i forhold til par man ikke møder, er perfekt neutral: da man slet ikke sammenlignes med de par, har de ingen indflydelse på ens score. De væsentligste ulemper ved puljeberegningen er at man vælger 8 af 24 par fem gange, i stedet for at vælge 40 af 120 par, og at man kun sammenlignes med 11 andre borde i det enkelte spil.
  2. Fordelen ved fælles top er først og fremmest at man bliver sammenlignet med et større felt: der er bedre graduering af det enkelte resultat. Hvert enkelt spil i en parturnering kan betragtes som en slags facitbridge, hvor resten af feltet producerer facitlisten: med fælles top opnås en mere gradueret facitliste som hele feltet er med til at fastlægge. Den væsentligste ulempe ved fælles top er at balancen i forhold til de par man ikke møder direkte, ikke er perfekt.
Uanset om man vælger 1 eller 2, kan man forbedre retfærdigheden en hel del ved at fordele spillere på en sådan måde at hvert enkelt par møder ca. lige meget modstand. I 1 gælder det om at gøre puljerne lige stærke; det gør det også i 2A; i 2B er det mere kompliceret.

Det er væsentligt at være opmærksom på at uanset hvilken løsning man vælger, får man en turnering der er langt ringere mht. retfærdighed end en alle-mod-alle-turnering ville være. Forskellene i retfærdighed mellem 1 og 2 er ganske små sammenlignet med den helt overordnede ulempe at vi ikke kan spille alle mod alle; valget handler om at vælge den mindst ringe af nogenlunde lige gode løsninger.

Semifinalens formål er jo ikke nødvendigvis at finde præcis de 40 bedste par, men kun at finde 40 par som med stor sikkerhed indeholder de par der bør få præmieplaceringer i A-finalen. Derfor er det acceptabelt ikke at spille alle mod alle.

Det er TUK's opfattelse at enhver af de ovenfor nævnte muligheder ville være fuldt tilfredsstillende til vores semifinaler. Vi har naturligvis alligevel dannet os en mening om hvilken der er bedst, og valgt den.

Turneringskomiteens valg

Da vi i TUK i forsommeren 2004 skulle vælge princippet for afviklingen af turneringen, fandt vi det ikke oplagt hvilken mulighed der var bedst. Vi spurgte derfor et antal internationale eksperter i turneringstilrettelæggelse til råds. De anbefalede alle at spille med fælles top. Anbefalingerne var formuleret med meget forskellig styrke: fra "jeg vil anbefale fælles top" til "det ville være vanvittigt overhovedet at overveje at beregne i puljer".

Vi valgte så at bruge beregning med fælles top (2 ovenfor). Senere har vi valgt en skifteplan hvor man spiller alle mod alle i puljer à 24 par, men altså med fælles top (løsning 2A).

Hver enkelt pulje spiller en uendelig Howell som er perfekt balanceret indenfor puljen. Man har altså perfekt balance i forhold til de 23 andre par man møder i turneringen.

De 5 puljers uendelig Howell-skifteplaner drejes undervejs i turneringen i forhold til hinanden for at opnå en bedre (eller mindre dårlig) balance mellem par fra forskellige puljer. Hvis man ikke gjorde det, ville hvert eneste par have 4 såkaldte skyggepar (par som man altid sidder på samme led som), ét i hvert af de andre puljer.

Særligt interesserede kan finde hele skifteplanen her:

Fordeling af par i puljerne

For at opnå den bedst mulige retfærdighed forsøger vi så vidt muligt at fordele parrene i puljerne således at: Dette opnås ved at fordele parrene som følger:

Inden for hvert distrikt rangeres parrene efter deres resultat i distriktsfinalen.

Først fordeles parrene fra det forventede stærkeste distrikt. Det måles efter hvor mange forlodspladser distriktet har. Hvis 2 eller flere distrikter har lige mange, regnes det distrikt der har færrest par i alt, for stærkest.

Fra dette distrikt fordeles de 5 bedste med én til hver pulje. Det bestemmes ved lodtrækning hvilket af de 5 par der går til hvilken pulje. Det samme gøres med de næste 5, og sådan fortsættes.

Hvis vi tænker os at det stærkeste distrikt (distrikt a) har i alt 17 pladser, ender vi med 2 par, som foreløbig gemmes i en overskudspulje.

Vi tænker os at det næststærkeste distrikt, distrikt b, har i alt 14 par med. De bedste 10 fordeles mellem puljerne som ovenfor, med ét par fra 1-5 og ét fra 6-10 i hver pulje. De sidste 4 suppleres med 1 fra overskudspuljen, og giver således endnu 5 par til fordeling mellem puljerne ved lodtrækning.

Således fortsætter man gennem distrikterne, idet man generelt supplerer fra overskudspuljen til et med 5 deleligt antal, og hvis det ikke kan lade sig gøre, lægger man i stedet et antal par i overskudspuljen.

Hver gruppe på 5 par fordeles som sagt ved lodtrækning. Men man sikrer sig dog at det enkelte distrikt fordeles bedst muligt: Distrikt a's 17 par skal fordeles 3-3-3-4-4 mellem puljerne.

Når parrene er fordelt i puljerne, trækkes der i hver pulje lod om parnumrene.

Lodtrækningerne sikrer at man ikke på forhånd kan forudsige hverken sit parnummer eller hvem man kommer i pulje med - bortset fra at man ved at man ikke kommer i pulje med de andre i en 5-pars-gruppe fra ens eget distrikt.

Skifteplanens balancemæssige egenskaber i detaljer

TUK har beregnet denne skifteplans balancemæssige egenskaber i detaljer.

Sådan en beregning går ud på, for hver eneste kombination af to par, at regne ud hvor stor indbyrdes modstand de to par har i hele turneringen.

Den modstand man får ved at sidde på samme led som et givet andet par i en runde, sættes til 1. Den modstand man får ved at sidde på modsat led af et andet par (ved forskellige borde), er -1: negativ indbyrdes modstand betyder at de to par er allierede.

Den modstand man får ved at møde et par ved sit eget bord, er 59. (At modstanden fra ens direkte modstander er netop 59 gange så stor som modstanden fra et par på samme led, kan indses ved følgende ræsonnement: En par ved et andet bord kan ved at spille "uendelig godt" eller "uendelig dårligt" variere ens score med 2 point. Modstanderne ved samme bord kan ved at spille "uendelig godt" eller "uendelig dårligt" variere ens score fra bund (-59) til top (+59): en forskel på 118 point. Modstanderne ved eget bord har derfor 118/2 = 59 gange så stor indflydelse på ens score som parret ved et andet bord.)

En sådan beregning på skifteplanen til semifinalerne viser at:

Særligt interesserede kan se den fulde balancematrix.

Mere præcist er der følgende antal forekomster af to par med de forskellige værdier for indbyrdes modstand: 

-17:    2
-13:   36
 -9:  356
 -5: 1104
 -1: 1884
  3: 1564
  7:  652
 11:  144
 15:   18
 59: 1380
Det der er interessant at vurdere her, er naturligvis om balancen mellem par der ikke møder hinanden, er så langt fra neutral at det er et problem for turneringens retfærdighed.

For at vurdere modstanden mellem par der ikke mødes, må man skelne mellem positiv modstand og negativ modstand.

Positiv modstand

Modstand +15 svarer til at sidde på samme led i 19 runder og på modsat led i 4 runder. Positiv modstand er ikke noget stort problem: det betyder at man i nogen grad spiller mod de(t) par man har positiv indbyrdes modstand i forhold til, og det er jo ikke i sig selv dårligt. +15 svarer til en modstand på 25% af den modstand man får fra hvert af de 23 par man møder direkte. Hvis der var rigtig mange tilfælde af stor positiv indbyrdes modstand mellem puljerne, kunne det være hensigtsmæssigt at forsøge at tage højde for det ved tildeling af parnumre; men det er ikke nødvendigt her.

Negativ modstand - et regneeksempel

For meget negativ modstand er uheldig: den betyder jo at man ikke spiller imod, men med det pågældende par. Langt de fleste kombinationer af to par har en indbyrdes modstand på -5 eller bedre, kun ganske få har en indbyrdes modstand der er værre end -9.

Negativ modstand på -17, som der findes to forekomster af to par der har, betyder at man sidder på modsat led (og dermed er allierede) i 20 runder, og på samme led i kun 3 runder.

Hvor slemt er det at to par har en indbyrdes modstand på -17?

Lad os prøve et tankeeksperiment: vi forestiller os at vi har modstand -17 til et par som kun scorer 40%. Det er naturligvis uheldigt, da det betyder at vi er mere allieret med end modstander til et dårligt par.

I det generelle tilfælde er det svært at beregne hvor meget sådan et par påvirker ens score, men det er nemt at regne på et slemt specialtilfælde: nemlig at dette 40%-par opnår sin score ved i hvert eneste spil at score en bund med 60% sandsynlighed og en top med 40% sandsynlighed, og at toppene og bundene er fordelt gennemsnitligt på de runder hvor vi sidder på samme/modsat led. Det er en urealistisk slem situation, fordi det par derved påvirker vores score i hvert eneste spil: hvis vi fx selv scorer 62% i et bestemt spil, vil et andet bords score jo ikke påvirke vores score uanset hvordan den varierer mellem (lige over) 38% og (lige under) 62%, men en top eller bund påvirker altid.

Når dette 40%-par får en top, giver eller koster det os 1 point, alt efter om det er i en af de 20 runder på modsat led eller en af de 3 runder på samme led. Når de får en bund, er det omvendt.

Da vi spiller 2 spil pr. runde, kan toppene forventes at påvirke vores score (i forhold til hvis parret slet ikke var med) med
      2 * 40% * (20*1 + 3*(-1))
og bundene tilsvarende
      2 * 60% * (20*(-1) + 3*1)

Det bliver alt i alt til en forventet ændring i vores score over alle 46 spil på
      2 * (60%-40%) * (-17) = -6,8 point.

6,8 point svarer til 0,13% af den mulige score i turneringen, og den lodtrækning der gav os indbyrdes modstand -17 til et 40% top-/bund-par, kan således forventes at koste os 0,13% i den endelige stilling.

0,13% kan måske godt gøre forskellen på om man kommer i A-finalen eller ej, men det kan ikke gøre forskellen på om et par der må forventes at ende i præmierækken, kommer i A-finalen eller ej, og det er derfor ikke i sig selv et problem for en turnering der kun skal finde et felt til en A-finale.

Tilfældighed

Nu er der jo mange andre borde, og der kan være adskillige par som man har negativ indbyrdes modstand (dog ikke så udpræget som -17) i forhold til. I praksis vil man, i kraft af lodtrækningen, næsten helt sikkert få både gode og dårlige par med negativ indbyrdes modstand, så det jævner sig ud.

Bridge er et spil med mange tilfældigheder. Hvis der i et spil er et gæt i åbningsudspillet som afgør om man scorer 420 eller -50, vil det ene gæt (fra en selv eller ens modstander) gøre en forskel på 59 point. Mange par spiller dårligere i slutningen af en turnering end i begyndelsen: det er en fordel hvis man møder sådanne par sent, men det kan vi ikke tage højde for i lodtrækningen.

Konklusion

Alt i alt er det TUK's opfattelse at de balancemæssige ulemper ved vores valgte løsning (i modsætning til beregning i puljer) slet ikke er et problem. Den vurdering baserer sig primært på at: Vi finder derfor at det er mere væsentligt at få beregningen over hele 60-bords-feltet end at undgå den smule ubalance. Og vi har derfor valgt den beskrevne skifteplan.

Andre ville have prioriteret balancen meget højt, og ville have valgt en anden løsning. Og det ville såmænd også have givet et brugbart resultat: forskellene i retfærdighed er små.